Klik disini -> 🐇 Persamaan Garis B Seperti Tampak Pada Gambar Adalah

Persamaangaris lurus yang melalui titik (6, -3) dan tegak lurus garis 2x + 3y - 5 = 0 adalah A. 3/2 x - 3 B. y = 3/2 x - 6 C. 3/2 x - 9 D. 3/2 x - 12. Pembahasan / penyelesaian soal. Persamaan garis diatas dapat diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini: 2x + 3y - 5 = 0; 3y = -2x + 5; y = -2/3x + 5/3; Jadi kita ketahui m 1

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi. Semua gambar grafik yang terdapat pada pos ini merupakan hasil screenshot. Aplikasi yang digunakan untuk menggambar grafiknya adalah GeoGebra Classic 5. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 164 KB. Today Quote Siapkan masa kini. Tidak perlu menyesali apa yang telah terjadi di masa lalu dan mengkhawatirkan apa yang belum terjadi di masa depan. Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Elips Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Hiperbola Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Lingkaran yang berpusat di titik $p$ menyinggung sumbu $Y$ seperti yang terlihat pada gambar berikut. Persamaan lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x-10^2+y+6^2=10$ B. $x-10^2+y+6^2=36$ C. $x+10^2+y-6^2=36$ D. $x-10^2+y+6^2=100$ E. $x+10^2+y-6^2=100$ Pembahasan Dari gambar, tampak bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat $10, -6$. Karena lingkaran tepat menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah $10$. Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ dirumuskan oleh $x-a^2+y-b^2 = r^2$. Untuk $a, b = 10, -6$ dan $r = 10$, didapat $\boxed{x-10^2+y+6^2 = 100}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $Ph, k$ dan $r$ berturut-turut menyatakan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2+8x-2y-8=0.$ Nilai dari $r+k-h = \cdots \cdot$ A. $10$ C. $15$ E. $19$ B. $12$ D. $17$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke dalam bentuk umum kanonik, yakni $$\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2y-8&=0 \\ x+4^2- 16 + y-1^2-1-8 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2-25 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2 &=25 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa lingkaran yang berpusat di $x_p, y_p$ dan berjari-jari $r$ memiliki persamaan $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2.$ Untuk itu, pusat lingkaran ini adalah $-4, 1$ dan jari-jarinya $r = \sqrt{25} = 5.$ Dengan kata lain, $h =-4, k = 1$, dan $r = 5$ sehingga $\boxed{r + k-h = 5 + 1-4 = 10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Lingkaran $$L \equiv x+1^2+y-3^2=9$$ memotong garis $y = 3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 2$ dan $x =-4$ B. $x = 2$ dan $x =-2$ C. $x =-2$ dan $x = 4$ D. $x =-2$ dan $x =-4$ E. $x = 8$ dan $x =-10$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 3$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x+1^2+y-3^2 &=9 \\ x+1^2+\color{red}{3}-3^2 & = 9 \\ x+1^2 & = 9 \\ x+1 & = \pm 3 \\ x = 2~&\text{atau}~x =-4 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $2,3$ dan $-4, 3.$ Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $2,3$ adalah $\begin{aligned} x+12+1 + y-33-3 & = 9 \\ 3x+1 & = 9 \\ x +1& = 3 \\ x &= 2 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $-4,3$ adalah $$\begin{aligned} x+1-4+1 + y-33-3 & = 9 \\-3x+1 & = 9 \\ x +1& =-3 \\ x &=-4 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 2$ dan $x =-4,$ seperti yang tampak pada gambar grafik berikut. Jawaban A [collapse] Baca Juga Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika Soal Nomor 4 Lingkaran $$L \equiv x-3^2+y-2^2=4$$ memotong garis $y = 2$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x =-1$ dan $x =-5$ B. $x =-1$ dan $x = 5$ C. $x = 1$ dan $x =-5$ D. $x = 1$ dan $x = 5$ E. $x = 4$ dan $x = 6$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 2$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x-3^2+y-2^2 &=4 \\ x-3^2+\color{red}{2}-2^2 & = 4 \\ x-3^2 & = 4 \\ x-3 & = \pm 2 \\ x = 5~&\text{atau}~x = 1 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $1,2$ dan $5,2$. Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $$x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p = r^2.$$Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $1,2$ adalah $\begin{aligned} x-31-3 + y-22-2 & = 4 \\-2x-3 & = 4 \\ x-3& =-2 \\ x &= 1 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $5,2$ adalah $\begin{aligned} x-35-3 + y-22-2 & =4 \\ 2x-3 & =4 \\ x-3& = 2 \\ x &= 5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 1$ dan $x = 5,$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Soal Nomor 5 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+12x-6y+13=0$ di titik $-2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y+1=0$ B. $x+2y+4=0$ C. $2x-y+3=0$ D. $-2x-y-5=0$ E. $3x-2y+4=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A = 12$, $B =-6$, $C = 13$, $x_1 =-2$, dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned}-2x-y + \dfrac{1}{2}12x-2+\dfrac{1}{2}-6y-1 + 13 & = 0 \\-2x-y + 6x-12-3y + 3 +13 & = 0 \\ 4x-4y+4& = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan 4} & \\ x-y+1 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y+1 = 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 6 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y-12=0$ B. $x-y-4=0$ C. $x-y-3=0$ D. $x+y-3=0$ E. $x+y+3=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C = 11$, $x_1 = 2,$ dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 2x- y + \dfrac{1}{2}-6x+2+\dfrac{1}{2}4y-1 + 11 & = 0 \\ 2x-y-3x-6 + 2y-2 +11 & = 0 \\-x + y+ 3 & = 0 \\ \text{Kali kedua ruas dengan-1} & \\ x-y-3 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y-3= 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ di titik $7,1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y-41=0$ B. $4x+3y-55=0$ C. $4x-5y-53=0$ D. $4x+3y-31=0$ E. $4x-3y-40=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C =-12,$ $x_1 = 7$, dan $y_1 = 1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 7x + y + \dfrac{1}{2}-6x+7+\dfrac{1}{2}4y+1-12 & = 0 \\ 7x + y-3x-21 + 2y + 2-12& = 0 \\ 4x+3y-31& = 0\end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+3y-31=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x^2+3y^2-6x-15y+16=0$ B. $2x^2+2y^2-4x-8y+9=0$ C. $2x^2+2y^2-4x-6y+7=0$ D. $x^2+y^2-2x+4y+2=0$ E. $x^2+y^2-4x-2y+1=0$ Pembahasan Diketahui titik pusat lingkarannya adalah $x_p, y_p = 1,2.$ Garis singgungnya adalah $y=x$ atau dapat ditulis $-x+y = 0$. Ini berarti, $$\begin{aligned} \text{Koefi}\text{sien}~x & = a =-1 \\ \text{Koefi}\text{sien}~y & = b = 1 \\ \text{Konstan}\text{ta} & = c = 0 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan $\boxed{r = \dfrac{ax_p + by_p + c} {\sqrt{a^2+b^2}}}$ yaitu $\begin{aligned} r & = \dfrac{-11 + 12 + 0}{\sqrt{-1^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1 + 2}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}} {\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$ Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $$\begin{aligned} x-x_p^2+y-y_p^2 & = r^2 \\ x-1^2+y-2^2 & = \left\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right^2 \\ x^2-2x+1+y^2-4y+4 & = \dfrac{1}{2} \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}&~2 \\ 2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\boxed{2x^2+2y^2-4x-8y+9=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang sejajar dengan $x+2y-5=0$ yang membagi lingkaran $x^2+y^2-8x+6y-20=0$ menjadi dua bagian yang sama adalah $\cdots \cdot$ A. $x+2y+2=0$ B. $x+2y+6=0$ C. $x+2y-2=0$ D. $x+2y=0$ E. $x+2y-8=0$ Pembahasan Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$ Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$ Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ x^2- 8x + y^2 + 6y-20 & = 0 \\ x- 4^2-16 + y+3^2-9-20 & = 0 \\ x-4^2 + y+3^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $4,-3.$ Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran. Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 4,-3$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 &= mx-x_1 \\ y-3 & =-\dfrac{1}{2}x- 4 \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$ Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Titik $a, b$ disebut titik letis jika $a$ dan $b$ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ D. $12$ B. $6$ E. tidak bisa dipastikan C. $8$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal $0,0$ dan berjari-jari $r = 5$ adalah $x^2 + y^2 = 25.$ Bila dipilih $x = 0$, maka $y = \pm 5$ dan sebaliknya. Bila dipilih $x = \pm 3$, maka $y = \pm 4$ dan sebaliknya. Untuk itu, pasangan $x, y \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan lingkaran di atas adalah $\begin{aligned} & \{0, 5, 0,-5, 5, 0, -5, 0, 3, 4, \\ & 3,-4, -3, 4, -3,-4, 4, 3, \\ & 4,-3, -4, 3, -4,-3\} \end{aligned}$ Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ ada $\boxed{12}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2$ $-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x-y=14$ B. $2x-y=10$ C. $2x-y=5$ D. $2x-y=-5$ E. $2x-y=-6$ Pembahasan Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. $$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ x-1^2-1 + y + 3^2-9-10 & = 0 \\ x-1^2 + y+3^2 & = 20 \end{aligned}$$Lingkaran tersebut berpusat di $1,-3$ dan berjari-jari $\sqrt{20} = 2\sqrt5.$ Gradien garis $2x-y+4=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x} {\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{2}{-1} = 2.$ Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien $m=2.$ Persamaan garis singgung bergradien $2$ pada lingkaran dengan pusat di $1,-3$ dan jari-jarinya $2\sqrt5$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} y-y_p & = mx-x_p \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-3 & = 2x-1 \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x-2 \pm 10 \\ 2x- y & = 5 \pm 10 \end{aligned}$ Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu $\begin{cases} 2x-y = 15 \\ 2x-y =-5 \end{cases}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui 2 lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ dan $x^2+y^2+10x-8y+25=0$. Hubungan antara kedua lingkaran ini adalah $\cdots \cdot$ A. berpotongan di satu titik B. tidak berpotongan C. bersinggungan luar D. bersinggungan dalam E. sepusat Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+6x + y^2-8y + 21 & = 0 \\ x+3^2-9 + y-4^2-16 + 21 & = 0 \\ x+3^2 + y-4^2 = 4 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-3, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{4} = 2.$ Lingkaran $x^2+y^2+10x-8y+25=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+10x + y^2-8y + 25 & = 0 \\ x+5^2-25 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 & = 16 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-5, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Jarak kedua pusat lingkaran adalah $s =-3-5 = 2.$ Selisih kedua jari-jari lingkaran adalah $\triangle r = 4-2 = 2.$ Karena sama, maka dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran itu bersinggungan dalam. Secara geometris, dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui titik $A-2,1$ dan $B4,-3$. Jika $Px,y$ terletak pada bidang koordinat sedemikian sehingga $PA^2 + PB^2 = AB^2$, maka $P$ merupakan titik-titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu $X$ pada $\cdots \cdot$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x = 2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$ $x = 2\sqrt{13}-1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x =-2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ Pembahasan Karena berlaku persamaan Pythagoras $PA^2+PB^2=AB^2$, maka dapat diasumsikan bahwa $PAB$ merupakan segitiga siku-siku yang sudut siku-sikunya di $P$. Diketahui $Px, y, A-2,1, B4,-3.$ Dengan menggunakan rumus jarak dalam sistem koordinat Kartesius, diperoleh persamaan $$\begin{aligned} \left\sqrt{x+2^2+y-1^2}\right^2 + & \left\sqrt{x-4^2+y+3^2}\right^2 \\ & = \left\sqrt{-2-4^2+1+3^2}\right^2 \end{aligned}$$Sederhanakan dengan menghapus tanda akar dan menguraikan bentuk kuadratnya. $\begin{aligned} & x^2+4x+4+ y^2-2y+1+ \\ & x^2-8x+16+ y^2+6y+9 = 52 \end{aligned}$ Sederhanakan bentuk aljabarnya. $\begin{aligned} 2x^2 + 2y^2-4x + 4y-22 & = 0 \\ \text{Bagi 2 pada kedua ruasnya} & \\ x^2+y^2-2x+2y-11&=0 \end{aligned}$ Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran yang mewakili kedudukan titik $P$ pada bidang koordinat. Lingkaran ini memotong sumbu $X$ saat $y = 0$, sehingga $\begin{aligned} x^2+0^2-2x+20-11&=0 \\ x^2-2x-11 & = 0 \end{aligned}$ Gunakan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat di atas. $\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{2 \pm \sqrt{-2^2-41-11}} {21} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{48}} {2} \\ & = \dfrac{2 \pm 4\sqrt{3}} {2} \\ & = \pm 2\sqrt{3} + 1 \end{aligned}$ Jadi, lingkarannya akan memotong sumbu $X$ di $x = 2\sqrt{3}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2 = 36$ dari titik $9,-6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y=12$ B. $3x-2y=12$ C. $3x+2y=-18$ D. $3x-y=12$ E. $2x-3y=18$ Pembahasan Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dari titik $x_1,y_1$ dirumuskan oleh $x_1x + y_1y = r^2$. Untuk itu, persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=36$ dari titik $9,-6$ adalah $\begin{aligned} 9x-6y & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan 3} \\ 3x-2y & = 12 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis polarnya adalah $\boxed{3x-2y=12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 15 Lingkaran yang berpusat di $2,3$ dan menyinggung garis $y-7=0$, juga menyinggung garis dengan persamaan $\cdots \cdot$ A. $x+6 = 0$ dan $y + 4 = 0$ B. $x-6 = 0$ dan $y + 1 = 0$ C. $x+2 = 0$ dan $y-6 = 0$ D. $x-2 = 0$ dan $y-6 = 0$ E. $x-2 = 0$ dan $y + 1 = 0$ Pembahasan Perhatikan sketsa berikut. Jika titik pusat lingkaran di $2, 3$, maka jarak titik ini ke titik singgung $2, 7$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu $r = 7-3 = 4$. Ini berarti, persamaan lingkarannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 4^2 = 16.$ Tampak bahwa garis horizontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran ini adalah $\begin{aligned} y & =-1 \equiv y + 1 = 0 \\ x & = 6 \equiv x-6 = 0 \\ x &=-2 \equiv x + 2 = 0 \\ y & = 7 \equiv y-7 = 0 \end{aligned}$ Dari pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat adalah B. [collapse] Soal Nomor 16 Jika kuasa titik $Mm, 4$ sama dengan nol terhadap lingkaran $x^2+y^2=25$, maka nilai $m = \cdots \cdot$ A. $\sqrt{3}$ D. $\pm 2$ B. $3$ E. $\pm 3$ C. $2$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ ekuivalen dengan $x^2 + y^2-25 = 0$. Nilai kuasa titik $x_1, y_1$ pada lingkaran tersebut adalah $x_1^2 + y_1^2-25.$ Agar nilai tersebut nol, kita tuliskan $\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2-25 & = 0 \\ m^2 + 4^2-25 & = 0 \\ m^2-9 & = 0 \\ m^2 & = 9 \\ m & = \pm 3 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{m = \pm 3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 17 Misalkan titik $A$ dan $B$ berada pada lingkaran $x^2 + y^2-6x-2y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C8,1$. Jika luas segi empat yang melalui titik $A,B,C$, dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k = \cdots \cdot$ A. $-1$ C. $1$ E. $3$ B. $0$ D. $2$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke bentuk umumnya. $$\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+k&=0 \\ x- 3^2- 9 + y-1^2-1+k&=0 \\ x-3^2 + y-1^2 & =10- k \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $P3,1$ dan $r = \sqrt{10-k}.$ Perhatikan bahwa garis yang ditarik dari titik $P3,1$ ke titik $C8,1$ membentuk garis horizontal mendatar. Ini berarti, garis $AB$ berupa garis vertikal sehingga segi empat $PABC$ berupa layang-layang. Perhatikan sketsa berikut untuk lebih jelasnya. Ingat bahwa jari-jari dan garis singgung selalu membentuk sudut siku-siku sehingga diperoleh segitiga $PAC$, siku-siku di $A.$ Diketahui $\begin{aligned} r & = PA = \sqrt{10-k} \\ PC & = 8-3 = 5 \end{aligned}$ Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. $\begin{aligned} AC & = \sqrt{PC^2-PA^2} \\ & = \sqrt{5^2-10-k} \\ & = \sqrt{k+15} \end{aligned}$ Dengan demikian, luas layang-layangnya dirumuskan oleh $\begin{aligned} 2 \cdot L_{\triangle PAC} & = 12 \\ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot PA \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{k+15}&=12 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ 10-k k+15 & = 144 \\-k^2-5k + 150-144 & = 0 \\ k^2+5k-6&=0 \\ k+6k-1 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $k =-6$ atau $k = 1.$ Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah C. [collapse] Soal Nomor 18 Lingkaran $x^2 + y^2 -16x-12y = 0$ memotong sumbu $Y$ di titik $P$. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran di titik $P$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y = 4x + 36$ B. $3y =-4x + 36$ C. $3y = 4x + 12$ D. $4y = 3x + 12$ E. $4y =-3x + 12$ Pembahasan Karena lingkaran memotong sumbu $Y$, maka nilai $x = 0$. Substitusikan ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x^2+y^2-16x-12y&=0 \\ 0^2-y^2-160-12y & = 0 \\-y^2-12y & = 0 \\ yy+12 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $y = 0$ atau $y = 12$. Ini berarti, ada dua kemungkinan koordinat titik $P$, yaitu di $0,0$ atau $0,12$. Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0$, $x_1 = y_1 = 0.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,0$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 0y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+0 + 0 & = 0 \\ -8x-6y & = 0 \\ 4x + 3y & = 0 \end{aligned}$$ Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0,$ $x_1 = 0, y_1 = 12.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,12$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 12y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+12 + 0 & = 0 \\ 12y-8x-6y-72 & = 0 \\ 6y & = 8x + 72 \\ 3y & = 4x + 36 \end{aligned}$$Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah A. Perhatikan gambar grafiknya sebagai bentuk representasi geometrisnya. [collapse] Soal Nomor 19 Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2+5x-5y+25=0$ B. $x^2+y^2-5x+5y+25=0$ C. $x^2+y^2+10x-10y+25=0$ D. $x^2+y^2-10x+10y+25=0$ E. $x^2+y^2+5x+5y+10=0$ Pembahasan Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif, maka dapat dipastikan bahwa lingkaran itu berada di kuadran II seperti sketsa gambar berikut. Jarak dari pusat lingkaran ke sisi lingkaran adalah jari-jari $r$, sehingga koordinat titik pusatnya adalah $-r, r.$ Karena pusat terletak pada garis $2x+3y-5=0,$ maka substitusi $x = -r$ dan $y = r$, diperoleh $\begin{aligned} 2-r+3r-5 & = 0 \\ r & = 5 \end{aligned}$ Pusat lingkaran di $-5, 5$. Persamaan lingkarannya adalah $$\begin{aligned} x-a^2+y-b^2&=r^2 \\ x+5^2+y-5^2 & = 5^2 \\ x^2+10x+25+y^2-10y+\cancel{25} & = \cancel{25} \\ x^2+y^2+10x-10y+25&=0 \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ menyinggung garis $ax+by=2a$. Nilai dari $\dfrac{a^2}{a^2+b^2}$ $= \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ berpusat di $x_1, y_1 = -1, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt9 = 3$. Lingkaran ini menyinggung garis $ax+by=2a$ atau ekuivalen dengan $ax+by-2a=0$. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} r & = 3 \\ \left\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{a-1+b0+-2a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{-3a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ \dfrac{a^2}{a^2+b^2} & = 1^2=1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a^2}{a^2+b^2} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 21 Titik pusat lingkaran $L$ berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis $y = 2x$. Jika $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, persamaan lingkaran $L$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2-3x-6y=0$ B. $x^2+y^2+6x-12y-108=0$ C. $x^2+y^2+12x+6y-72=0$ D. $x^2+y^2-12x-6y=0$ E. $x^2+y^2-6x-12y+36=0$ Pembahasan Karena lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, maka dapat dipastikan bahwa ordinat pusat lingkaran $L$ adalah $6$, dengan absis yang dapat ditentukan oleh persamaan $y=2x$, yaitu $6 = 2x \Leftrightarrow x = 3.$ Jadi, pusat lingkaran $L$ di $3,6.$ Panjang jari-jari lingkarannya adalah jarak dari titik $3,26$ ke $0,6$, yaitu $r = 3.$ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah $\begin{aligned} x-3^2 + y-6^2 &= 3^2 \\ x^2-6x + 9 + y^2-12y + 36 & = 9 \\ x^2 + y^2-6x-12y + 36 & = 0 \end{aligned}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 22 Diketahui lingkaran $L \equiv x^2 + y^2 -2x-4y-10 = 0$. Garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya dan melalui titik $a, b$ memiliki persamaan $\cdots \cdot$ $b+2x+1+ay+2a-b = 0$ $b-2x+1+ay+2a+b = 0$ $b+2x+1-ay+2a-b = 0$ $b+2x+1-ay+2a+b = 0$ $b-2x+1-ay+2a-b = 0$ Pembahasan Suatu garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya pasti melalui titik pusat lingkaran. Oleh karena itu, kita cari titik pusat lingkaran yang diberikan $$\begin{aligned} x^2 + y^2-2x-4y -10 & = 0 \\ x-1^2-1+y-2^2-4-10 & = 0 \\ x-1^2+y-2^2 & = 15 \end{aligned}$$Diperoleh titik pusat di $1, 2.$ Persamaan garis yang melalui $1, 2$ dan $a, b$ adalah $$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{b-2} & = \dfrac{x-1}{a-1} \\ y-2a-1 & = b-2x-1 \\ ay-y-2a+2 & = bx-b-2x+2 \\ b-2x+1-ay+2a-b & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis itu dinyatakan oleh $\boxed{b-2x+1-ay+2a-b = 0}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 23 Salah satu persamaan garis singgung dari titik $0, 4$ pada lingkaran $x^2+y^2 = 4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = \sqrt3x + 2$ B. $y = \sqrt3x + 4$ C. $y = 3x + 4$ D. $y = \sqrt5x + 4$ E. $y = 5x + 4$ Pembahasan Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran itu sehingga diperoleh $$0^2 + 4^2 = 16 > 4.$$Ini artinya titik $0, 4$ berada di luar lingkaran. Misalkan persamaan garis singgung yang dimaksud berbentuk $y = mx + c.$ Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada persamaan garis sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 4 & = m0 + c \\ c & = 4. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $y = mx + 4.$ Berikutnya, substitusikan pada persamaan lingkaran. $$\begin{aligned} x^2+y^2 & = 4 \\ x^2 + mx + 4^2 & = 4 \\ x^2 + m^2x^2 + 8mx + 16 & = 4 \\ \underbrace{1+m^2}_{a}x^2 + \underbrace{8m}_{b}x + \underbrace{12}_{c} & = 0. \end{aligned}$$Karena garis menyinggung lingkaran, maka persamaan kuadrat di atas harus berdiskriminan $0.$ $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ 8m^2-41+m^212 & = 0 \\ 64m^2-48-48m^2 & = 0 \\ 16m^2 & = 48 \\ m^2 & = 3 \\ m & = \pm \sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $y = \sqrt3x + 4$ atau $y = -\sqrt3x + 4.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diberikan lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-4x-14y+44=0.$ Jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $3$ C. $7$ E. $13$ B. $5$ D. $10$ Pembahasan Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x^2+y^2-4x-14y + 44 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-14y + 44 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-7^2-49 + 44 & = 0 \\ x-2^2 + y-7^2 & = 9. \end{aligned}$$Jadi, lingkaran itu berpusat di $2, 7$ dan berjari-jari $\sqrt9 = 3.$Titik $14, 2$ berada di luar lingkaran tersebut karena substitusi pada ruas kiri menghasilkan nilai lebih dari $9.$ Untuk mencari jarak terdekat titik ini ke lingkaran, cari dulu jarak titik tersebut ke pusat lingkaran, kemudian dikurangi dengan panjang jari-jarinya. $$\begin{aligned} 14, 2 \to 2, 7 \Rightarrow d & = \sqrt{14-2^2 + 2-7^2} \\ & = \sqrt{144 + 25} \\ & = 13 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran sama dengan $3$ sehingga jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\boxed{13-3=10}$ Jawaban D [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Selidiki apakah persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan. a. $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ b. $x^2 + y^2-4x- 8y + 25 = 0$ c. $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran haruslah berbentuk $x-a^2+y-b^2 = r^2$ dengan $a, b$ sebagai koordinat titik pusat dan $r$ jari-jari lingkaran serta $r > 0$. Jawaban a Persamaan $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ ekuivalen dengan $x- 4^2 + y-1^2 = 36$ Persamaan ini menunjukkan bentuk persamaan lingkaran yang pusatnya di $4, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt{36} = 6.$ Jawaban b Ubah bentuk persamaan ini menjadi seperti berikut. $$\begin{aligned} x^2 + y^2-4x-8y + 25 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-8y + 25 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x-2^2 + y-4^2 & =-5 \end{aligned}$$Persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan lingkaran, namun ditemukan bahwa $r$ bernilai negatif, sehingga persamaan $x^2 + y^2-4x-8y + 25 = 0$ bukan persamaan lingkaran. Jawaban c Persamaan $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ tidak memiliki suku $y^2$ sehingga bukan termasuk persamaan lingkaran. [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut. Berdiameter $10$ dan berpusat di titik $-5,5$; Berjari-jari $7$ dan berpusat di titik $1,0$; Berjari-jari $\sqrt{3}$ dan berpusat di titik asal. Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Diketahui $d = 10, r = 5$, $r^2 = 25, a =-5, b = 5.$ Ingat bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter. Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+5^2+y-5^2 = 25}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2+10x-10y+25=0}$ Jawaban b Diketahui $r = 7, r^2 = 49$, $a = 1, b = 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-1^2+y^2 = 49}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2-2y-48 =0}$ Jawaban c Diketahui $r = \sqrt{3}, r^2 = 3, a = b = 0.$ Catatan Titik asal disebut juga titik pusat koordinat, yaitu $0, 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x^2+y^2 = 3}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan berikut. a. $x+5^2+y-3^2 = 16$ b. $x^2+y^2+10x-8y-8=0$ c. $3x^2+3y^2+12x-9y = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Dengan membandingkan persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran, diperoleh $a =-5, b=3$, dan $r^2 = 16$, atau $r = 4$. Jadi, kooordinat titik pusatnya di $-5,3$ dan jari-jari lingkarannya $4$ satuan panjang. Jawaban b Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2+10x-8y-8 & = 0 \\ x^2+10x + y^2-8y + 8 & = 0 \\ x+5^2- 25 + y-4^2-16 + 8 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 = 33 \end{aligned}$$Diperoleh $a =-5, b = 4, r^2 = 33, r = \sqrt{33}.$ Jadi, koordinat titik pusatnya di $-5,4$ dan jari-jari lingkarannya $\sqrt{33}$ satuan panjang. Jawaban c Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $\begin{aligned} 3x^2+3y^2+12x- 9y & = 0 \\ \text{Bagi 3 pada kedua ruas} & \\ x^2+y^2+4x-3y & = 0 \\ x^2+4x + y^2-3y & = 0 \\ x + 2^2-4 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2-\dfrac{9}{4} & = 0 \\ x + 2^2 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$ Diperoleh $a =-2, b = \dfrac{3}{2}, r^2 = \dfrac{25}{4}, r = \dfrac{5}{2}$. Jadi, koordinat titik pusatnya di $\left-2,\dfrac{3}{2}\right$ dan jari-jari lingkarannya $\dfrac{5}{2}$ satuan panjang. [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui lingkaran dengan persamaan $x-2^2 + y+5^2 = 40.$ Selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran itu. a. Titik $A2, 5$ b. Titik $B-4,-3$ c. Titik $C0,-4$ d. Titik $D8,-7$ e. Titik $E-1,2$ f. Titik $F6,-2$ Pembahasan Ada $3$ kemungkinan kedudukan titik terhadap suatu lingkaran, yaitu terletak di luar lingkaran, pada lingkaran, dan di dalam lingkaran. Pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2$, apabila substitusi nilai $x, y$ mengakibatkan ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka itu berarti titik dengan koordinat tersebut berada di luar lingkaran. Jika lebih kecil, berarti titiknya di dalam lingkaran. Jika sama, berarti titiknya pada lingkaran. Jawaban a Titik $A2,5$. Substitusikan $x = 2$ dan $y = 5$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 2-2^2 + 5+5^2 \\ & = 0^2 + 10^2 \\ & = 100 > 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $A$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban b Titik $B-4,-3$. Substitusikan $x =-4$ dan $y =-3$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = -4-2^2 + -3+5^2 \\ & = -6^2 + 2^2 \\ & = 40 \end{aligned}$ Ini berarti, titik $B$ berada pada lingkaran itu. Jawaban c Titik $C0,-4$. Substitusikan $x = 0$ dan $y =-4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = 0-2^2 + -4+5^2 \\ & = -2^2 + 1^2 \\ & = 5 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $E$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban f Titik $F6,-2$. Substitusikan $x = 6$ dan $y =-2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 6-2^2 + -2+5^2 \\ & = 4^2 + 3^2 \\ & = 25 0 \\ 36- 64k^2 & > 0 \\-64k^2 & >-36 \\ k^2 & \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ k & \dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~~k \dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$ [collapse] Soal Nomor 9 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik $A 2,-4, B5,-1$, dan $C2,2$. Pembahasan Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran berbentuk $x-a^2 + y-b^2 = r^2$, dengan $a, b$ titik pusat lingkaran. Dengan substitusi nilai $x, y$ pada persamaan itu, diperoleh $$\begin{aligned} A2,-4 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 && \cdots 1 \\ B5,-1 5-a^2 + -1-b^2 & = r^2 && \cdots 2 \\ C2,2 2-a^2 + 2-b^2 & = r^2 && \cdots 3 \end{aligned}$$Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 3 untuk memperoleh $$\begin{aligned} -4-b^2-2-b^2 & = 0 \\ -4-b-2+b-4-b+2-b & = 0 \\-6-2b-2 & = 0 \\-2b & = 2 \\ b & =-1 \end{aligned}$$Substitusikan $b =-1$ pada persamaan $1$ dan $2$, kemudian kurangkan. $$\begin{aligned} 2-a^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ 5-a^2 + -1+1^2 & = r^2 \\ \rule{5 cm}{1 pt}~&- \\ 2-a^2 + 9-5-a^2 & = 0 \\ 4- 4a + a^2 + 9-25-10a + a^2 & = 0 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{aligned}$$Terakhir, substitusikan $a = 2$ dan $b =-1$ pada salah satu dari tiga persamaan di atas. Sebagai contoh, misalkan pada persamaan 1. $\begin{aligned} 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 \\ 2-2^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ r^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik itu adalah $\boxed{x-2^2 + y+1^2 = 9}$ Gambar grafiknya sebagai berikut. [collapse] Soal Nomor 10 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari gradien yang diketahui berikut. a. $x^2+y^2=4; m = 2$ b. $x^2+y^2-4x-2=0; m =-1$ c. $x^2+y^2-3x+2y-3=0; m = 1$ d. $x^2+y^2-3x-5=0; m =-3$ e. $x+2^2+y-1^2=8; m=1$ f. $x-1^2+y-5^2=10; m = 2$ g. $x^2+y+2^2=5; m =-3$ Pembahasan Jawaban a Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2 = 4$. Lingkaran ini memiliki pusat di $0, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt4 = 2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = b = 0$, $m = 2$, dan $r = 2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-0 & = 2x-0 \pm 2\sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x \pm 2\sqrt5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x + 2\sqrt5$ atau $y = 2x-2\sqrt5$. Jawaban b Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x-2=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} x-2^2-4 + y^2-2 & = 0 \\ x-2^2 + y^2 & = 6 \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $2, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt6$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 2$, $b = 0$, $m =-1$, dan $r = \sqrt6$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-1x-2 \pm \sqrt6 \cdot \sqrt{1+-1^2} \\ y & =-x + 2 \pm \sqrt{12} \\ y & =-x+2 \pm 2\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-x + 2 + 2\sqrt3$ atau $y =-x+2-2\sqrt3$. Jawaban c Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x+2y-3=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $$\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + [y+1^2-1]-3 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32,-1\right$ dan berjari-jari $r = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b =-1$, $m = 1$, dan $r = \dfrac52$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1& = 1\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac52 \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y+1 & = x-\dfrac32 \pm \dfrac52\sqrt{2} \\ y & = x-\dfrac52 \pm \dfrac52\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = x-\dfrac52 + \dfrac52\sqrt2$ atau $y = x-\dfrac52-\dfrac52\sqrt2$. Jawaban d Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x-5=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + y^2-5 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac94+5 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac{29}{5} \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32, 0\right$ dan berjari-jari $r = \dfrac12\sqrt{29}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b = 0$, $m =-3$, dan $r = \dfrac12\sqrt{29}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-3\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac12\sqrt{29} \cdot \sqrt{1+-3^2} \\ y & =-3x+ \dfrac92 \pm \dfrac12\sqrt{290} \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-3x+\dfrac92+\dfrac12\sqrt{290}$ atau $y =-3x+\dfrac92- \dfrac12\sqrt{290}$. Jawaban e Diketahui persamaan lingkaran $x+2^2+y-1^2=8$. Lingkaran ini memiliki pusat di $-2, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt8 = 2\sqrt2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a =-2$, $b = 1$, $m = 1$, dan $r = 2\sqrt2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1 & = 1x-2 \pm 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y & = x+3 \pm 4 \end{aligned}$$Dengan mengganti tanda $\pm$ menjadi $+$ atau $-$, kita peroleh persamaan garis singgung lingkaran itu, yakni $y = x+7$ atau $y = x-1.$ Jawaban f Diketahui persamaan lingkaran $x-1^2+y-5^2=10$. Lingkaran ini memiliki pusat di $1, 5$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 1$, $b = 5$, $m = 2$, dan $r = \sqrt{10}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-5 & = 2x-1 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x+3 + \pm 5\sqrt{2} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x+3+5\sqrt2$ atau $y = 2x+3-5\sqrt2$. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus Soal Nomor 11 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$ yang memenuhi kriteria berikut. tegak lurus terhadap garis $x+3y-15=0$; sejajar terhadap garis $x+3y-15=0$. Pembahasan Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$. Persamaan ini dapat diubah menjadi bentuk umumnya menggunakan metode kuadrat sempurna, yakni $$\begin{aligned} x-2^2-4+y+4^2-16+10 & =0 \\ x-2^2+y+4^2 & = 10 \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki titik pusat di $2,-4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Jawaban a Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = 3$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =3x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + 3^2} \\ y+4 & = 3x-6 \pm 10 \\ y & = 3x-10 \pm 10 \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y = 3x$ atau $y=3x-20$. Jawaban b Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya sama, yaitu $m = m_g =-\dfrac13$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =-\dfrac13x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + \left-\dfrac13\right^2} \\ y+4 & =-\dfrac13x+\dfrac23 \pm \sqrt{10} \cdot \dfrac13\sqrt{10} \\ y & =-\dfrac13x-\dfrac{10}{3} \pm \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y =-\dfrac13x$ atau $y=-\dfrac13x-\dfrac{20}{3}$. [collapse] Soal Nomor 12 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada koordinat $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$; koordinat $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$. Pembahasan Jawaban a Karena pusatnya di $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $X$ ke sumbu $Y$, yaitu $r = 3$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x + 3^2 + y- 2^2 & = 3^2 \\ x+3^2 + y-2^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+3^2 + y-2^2 = 9}$ Jawaban b Karena pusatnya di $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $Y$ ke sumbu $X$, yaitu $r = 2$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 2^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 4 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-4^2 + y-2^2 = 4}$ [collapse] Soal Nomor 13 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x-3^2 + y-4^2 = 25$ yang melalui titik $0,0$. Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik pusat $0,0$ adalah $y = mx$ dengan $m$ sebagai gradiennya. Substitusikan $y = mx$ pada persamaan lingkaran tersebut. $$\begin{aligned} x-3^2 + y-4^2 & = 25 \\ x-3^2 + mx-4^2 & = 25 \\ x^2-6x + 9 + m^2x^2- 8mx + 16 & = 25 \\ 1 + m^2x^2- 8m + 6x & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan kuadrat dengan koefisien $x^2$, yaitu $a = 1 + m^2$, koefisien $x$, yaitu $b = 8m + 6$, dan konstanta $c = 0.$ Agar garis itu menyinggung lingkaran, maka diskriminannya haruslah bernilai $0$. $\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ -8m-6^2- 41 + m^20 & = 0 \\ -8m- 6^2 & = 0 \\-8m-6 & = 0 \\ m & = \dfrac{6}{-8} \\ m & =-\dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $\boxed{y =-\dfrac{3}{4}x}$ [collapse] Soal Nomor 14 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $x + y-5 = 0$ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2 + y^2- 2x-2y-34 = 0$ dan $x^2 + y^2 + 8x-2y-100 = 0$. Pembahasan Langkah 1 Menentukan titik potong kedua lingkaran Persamaan kedua lingkaran itu dalam bentuk umum adalah $\begin{aligned} x-1^2 + y-1^2 & = 36 \\ x+4^2 + y-1^2 & = 117 \end{aligned}$ Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah untuk memperoleh $$\begin{aligned} x-1^2-x + 4^2 & =-81 \\ x^2-2x + 1-x^2 + 8x + 16 & =-81 \\-10x + 1-16 & =-81 \\-10x & =-66 \\ x & = \dfrac{33}{5} \end{aligned}$$Substitusikan nilai $x = \dfrac{33}{5}$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $x-1^2 + y-1^2 = 36$, sehingga didapat $\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-1\right^2 + y-1^2 & = 36 \\ y-1 & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \\ y & = 1 \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \end{aligned}$ Ini berarti, ada 2 titik potong kedua lingkaran, yaitu pada koordinat $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$. Langkah 2 Menentukan titik pusat lingkaran yang dimaksud Misalkan titik pusat lingkarannya, yaitu $x_p, y_p$, terletak pada garis $x + y-5 = 0$ sehingga berlaku $y_p = 5-x_p$. Ini berarti, $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-x_p^2 + y + x_p- 5^2 & = r^2 \end{aligned}$ Karena lingkaran melalui titik $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$, diperoleh $$\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \\ \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \end{aligned}$$Kurangi persamaan atas dengan persamaan bawah untuk mendapatkan $\begin{aligned} & \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 \\ & = \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p- 5\right^2 \end{aligned}$ Jabarkan, sehingga nantinya didapat $x_p = \dfrac{\frac{16}{5}\sqrt{116}}{\frac{4}{5}\sqrt{116}} = 4$ Ini berarti, $y_p = 1$. Jadi, titik pusat lingkarannya di $4, 1$. Langkah 3 Menentukan persamaan lingkaran Substitusikan $x_p = 4, y_p = 1, x = \dfrac{33}{5}, y = 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}$ pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2= r^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} r^2 & = \left\dfrac{33}{5}-4\right^2 + \left1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}-1\right^2 \\ r^2 & = \dfrac{169}{25} + \dfrac{116}{25} = \dfrac{57}{5} \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran itu adalah $\boxed{x-4^2 + y-1^2 = \dfrac{57}{5}}$ Perhatikan grafiknya di bawah ini. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Versi HOTS & Olimpiade Soal Nomor 15 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $2,1$ dan konsentris dengan lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0.$ Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0$ dapat diubah menjadi bentuk umum kanonik sebagai berikut. $$\begin{aligned} x^2+y^2+6x+8y-37 & = 0 \\ x^2+6x + y^2+8y- 37 & = 0 \\ x+3^2-9+y+4^2-16-37 &= 0 \\ x+3^2 + y+4^2 & = 62 \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $-3,-4.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $-3,-4$ dan melalui titik $2,1$ adalah $r^2 = 2 + 3^2 + 1 + 4^2 = 50.$ Jadi, diperoleh $r^2 = 50.$ Dengan demikian, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $\boxed{x+3^2 + y+4^2 = 50}$ [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Fungsi Kuadrat Soal Nomor 16 Hitung nilai $A, B$, dan $C$ jika lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C = 0$ melalui titik $3,5, -2,4$, dan $-6,-2$. Pembahasan Substitusi tiap titik sebagai nilai $x, y$ pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh $$\begin{cases} 3^2 + 5^2 + 3A + 5B + C & = 0 \\ -2^2+4^2-2A+4B+C & = 0 \\ -6^2+-2^2-6A-2B+C & = 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $\begin{cases} 3A+5B+C =-34 & 1 \\-2A+4B+C =-20 & 2 \\-6A- 2B +C =-40 & 3 \end{cases}$ Dari $1$ dan $2$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-2A + 4B + C =-20 \\ \rule{ cm}{ \\ 5A + B =-14 &~~~4 \end{aligned}$ Dari $2$ dan $3$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-6A- 2B + C =-40 \\ \rule{ cm}{ \\ 9A + 7B = 6 &~~~5 \end{aligned}$ Selanjutnya, dari $4$ dan $5$, diperoleh $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5A+B & =-14 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~35A+7B & =-98 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ \\ & \! \begin{aligned} 26A& =-104 \\ A & =-4 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan gantikan $A =-4$ pada persamaan $4$ atau $5$, misalkan pada persamaan $4$ . $\begin{aligned} 5A+B&=-14 \\ 5-4+B&=-14 \\-20+B&=-14 \\ B & = 6 \end{aligned}$ Substitusikan gantikan $A =-4$ dan $B = 6$ pada persamaan $1, 2$, atau $3$, misalkan pada persamaan $1$ . $\begin{aligned} 3A+5B+C & =-34 \\ 3-4 + 56 + C & =-34 \\-12+30+C&=-34 \\ C & =-52 \end{aligned}$ Jadi, nilai $A, B$, dan $C$ berturut-turut adalah $-4, 6$, dan $-52$. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- SPLTV Soal Nomor 17 Pada sebuah panggung, seorang penata lampu menggunakan lampu sorot untuk menyinari area panggung. Sinar yang dihasilkan dari lampu sorot berbentuk lingkaran dengan persamaan $x-13^2 + y-4^2 = 16.$ Buatlah gambar lingkaran yang dihasilkan lampu sorot pada bidang Kartesius. Jika tiga penampil, yaitu Handi, Lusi, dan Jane berturut-turut ada pada koordinat $11, 4, 8, 5$, dan $15, 5$, manakah penampil yang berada di luar sinar lampu sorot? Pembahasan Jawaban a Perhatikan bahwa $x-13^2 + y-4^2 = 16$ merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di $13, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Posisikan titik $13, 4$, kemudian geser sejauh $4$ satuan ke kiri, kanan, atas, dan bawah, sehingga diperoleh titik $9, 4, 17, 4, 13, 8$, dan $13, 0$. Hubungkan keempat titik itu dengan menggunakan garis lengkung sehingga terbentuklah sebuah lingkaran. Jawaban b Substitusikan nilai $x$ dan $y$ berdasarkan koordinat $x, y$ yang diberikan ke bentuk $x-13^2 + y-4^2$. Perhatikan tiga ketentuan berikut Apabila bernilai kurang dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di dalam lingkaran sinar lampu sorot; Apabila bernilai tepat $16$, maka itu berarti titik koordinatnya persis di tepi lingkaran tepi sinar lampu sorot; Apabila bernilai lebih dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di luar lingkaran sinar lampu sorot; Untuk koordinat $11, 4$, diperoleh $\begin{aligned} 11-13^2 + 4-4^2 & = -2^2 + 0^2 \\ & = 4 16 \end{aligned}$ Jadi, Lusi berada di luar sinar lampu sorot. Untuk koordinat $15, 5$, diperoleh $$\begin{aligned} 15-13^2 + 5-4^2 & = 2^2 + 1^2 \\ & = 5 < 16 \end{aligned}$$Jadi, Jane berada di dalam sinar lampu sorot. Penampil yang berada di luar sinar lampu sorot adalah Lusi. [collapse] Soal Nomor 18 Sebuah radar ditempatkan pada koordinat $2, 3$ dan mampu mendeteksi hingga $50$ km ke segala arah. Buatlah persamaan yang menggambarkan kemampuan deteksi radar. Jika sebuah objek berada pada koordinat $40, 20$, dapatkah radar tersebut mendeteksinya? Berikan alasannya! Pembahasan Jawaban a Kemampuan deteksi radar itu dapat dideskripsikan sebagai lingkaran yang berpusat di $2, 3$ dan berjari-jari $r = 50$, atau $r^2 = 2500$. Persamaannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 2500.$ Jawaban b Substitusikan nilai $x = 40$ dan $y = 20$ pada bentuk $x-2^2 + y-3^2$ menghasilkan $\begin{aligned} 40-2^2 + 20-3^2 & = 38^2 + 17^2 \\ & = 1733 < 2500 \end{aligned}$ Karena itu, objek yang berada pada koordinat$40, 20$ terdeteksi oleh radar itu. [collapse] Soal Nomor 19 Sebuah asteroid yang melaju dengan persamaan $2y-2x-20=0$ diperkirakan akan menabrak sebuah satelit yang berputar mengelilingi bumi dengan persamaan $x^2+y^2=52.$ Tentukan titik koordinat tabrakan yang akan terjadi dengan asumsi titik $0,0$ dihitung dari inti bumi. Pembahasan Perhatikan bahwa $\begin{aligned} 2y-2x-20&=0 \\ 2y & = 2x+20 \\ y & = x+10 \end{aligned}$ Substitusikan $y = x+10$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=52$, sehingga ditulis $\begin{aligned} x^2+x+10^2 & = 52 \\ x^2 + x^2+20x+100 & = 52 \\ 2x^2+20x+8& = 0 \\ x^2+10x+24&=0 \\ x+6x+4 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $x=-6$ atau $x=-4.$ Untuk $x=-6$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-6+10 = 4.$ Untuk $x=-4$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-4+10 = 6.$ Jadi, titik tabrakannya berada di koordinat $-6,4$ dan $-4, 6.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Lingkaran Tingkat SD

Persamaangaris B seperti tampak pada gambar adalah - 9277819 KimAnna KimAnna 04.02.2017 Sekolah Menengah Pertama terjawab • terverifikasi oleh ahli Persamaan garis B seperti tampak pada gambar adalah 1 Lihat jawaban Iklan Iklan DenmazEvan DenmazEvan Kategori: Matematika Bab Persamaan garis Kelas: XI SMA Perhitungan dapat dilihat pada

Kelas 8 SMPPERSAMAAN GARIS LURUSBentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaGambarlah garis-garis dengan persamaan berikut ini dengan terlebih dahulu menentukan nilai x jika y = 0 dan menentukan nilai y jika x = 0. 2x + y = 6Bentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaPERSAMAAN GARIS LURUSALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0203Dari persamaan garis berikut i y = 2x - 3 ii y =3x -...0226Diantara persamaan-persamaan berikut ini; manakah yang bu...0220Grafik persamaan garis lurus 2y+x=4 adalah ....A. y x B y...Teks videoBerikut ini kita memiliki 2 x + 9 = 6 karena kita disuruh untuk menggambarkan garis-garis dengan persamaan berikut ini maka kita harus terlebih dahulu menentukan titik potong pada sumbu x dan juga sumbu y pada grafik dengan memasukkan nilai x = 0 dan juga y = 0. Jadi pertama kita akan memasukkan nilai x = 0 terlebih dahulu. Jika kita masukkan nilai x = 0, maka kita dapatkan 2 dikalikan dengan 0 ditambah sehingga jika 2 dikalikan dengan 0 menjadi 0 maka kita tidak perlu menuliskan nomornya lagi di langsung saja kita Tuliskan y = 6 karena disini diberitahu bahwa x = 0 dan hasil akhir dari nya adalah 6 maka kita dapat menentukan bahwa titik koordinatnya adalah koma 6 selanjutnya kita akan memasukkan nilai y = 0 ke dalam rumus Jadi jika y = 0 kita akan memperoleh 2 x + 0 = 6 dan juga karena nol tidak bernilai apapun maka kita bisa langsung tulis 2 x = 6 sehingga kita dapat memperoleh nilai x yaitu 3 x = 0 dan X = 3 sehingga kita dapat memperoleh nilai titik koordinat yang kedua yaitu 3,0 dimana kita akan menggambarkan garis-garisnya terlihat atau tampak seperti ini dikatakan sebagai sumbu x adalah garis yang horizontal sedangkan garis yang dikatakan sebagai sumbu y adalah garis yang vertikal dan step selanjutnya atau langkah selanjutnya kita akan menandai titik titik koordinat pada grafik Jadi yang pertama adalah titik 0,6 jadi titik 0,6 Tahu semua ada disini yang ditandai dengan titik berwarna merah. Selain itu titik koordinat yang kedua adalah titik 3,0 yang ditandai oleh titik pada sumbu-x ini kita akan gabungkan kedua titik ini dengan satu garis seperti ini maka garis dengan persamaan 2 x + y = 6 akan tampak seperti ini pada grafik sampai jumpa pada soal berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul

SekolahMenengah Pertama terjawab Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah Iklan Jawaban 4.4 /5 211 tinkerwolf Ini ya, semoga dapat membantu:)) ka dpn tuh apa ya? selisih alias delta dpn apa itu yg 2x-y=-2 dpt dr mna kak? Sedang mencari solusi jawaban Matematika beserta langkah-langkahnya? Pilih kelas untuk menemukan buku sekolah Iklan

^{Postingan ini membahas contoh soal persamaan garis lurus dan pembahasannya atau penyelesaiannya + jawaban. Penerapan persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, salah satunya adalah tangga. Tangga yang sering kalian temui di kehidupan sehari-hari biasanya berbentuk garis lurus dan selalu diletakkan dengan posisi miring terhadap lantai. Secara umum persamaan garis lurus mempunyai bentuk y = mx + c, dengan m menyatakan gradien. Sedangkan rumus persamaan garis lurus sebagai persamaan garis lurusPersamaan pertama adalah persamaan garis lurus dengan gradien dan melewati titik x1, y1. Sedangkan persamaan kedua adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu A x1, y1 dan titik B x2, y2.Contoh soal 1 UN 2016 SMPPersamaan garis yang melalui titik R-3, -2 dengan gradien 2 adalah…A. 2x + y – 4 = 0 B. 2x – y + 4 = 0C. 2x + y + 4 = 0 D. 2x – y – 4 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = – 3y1 = – 2m = 2Cara menjawab soal ini sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – -2 = 2 x – -3y + 2 = 2 x + 3y + 2 = 2x + 62x – y + 6 – 2 = 02x – y + 4 = 0Soal ini jawabannya soal 2 UN 2016Persamaan garis yang melalui titik P-1, 2 dengan gradien 1/2 adalah…A. x + 2y – 5 = 0 B. x – 2y – 5 = 0 C. x – 2y + 5 = 0 D. x + 2y + 5 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = – 1y1 = 2m = 1/2Cara menentukan persamaan garis lurus sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 2 = 1/2 x – -1y – 2 = 1/2 x + 1y – 2 = 1/2x + 1/21/2x – y + 1/2 + 21/2x – y + 5/2 = 0 dikali 2x – 2y + 5 = 0Soal ini jawabannya soal 3 UN 2017 SMPPersamaan garis melalui titik -2, 3 dan bergradien -3 adalah …A. x + 3y + 3 = 0 B. x – 3y + 3 = 0 C. 3x + y + 3 = 0 D. 3x – y + 3 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = -2y1 = 3m = -3Cara menjawab soal ini sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 3 = -3 x – -2y – 3 = -3 x + 2y – 3 = -3x – 63x + y – 3 + 6 = 03x + y + 3 = 0Soal ini jawabannya soal 4Persamaan garis yang melalui titik 2, 5 dan 3, 9 adalah…A. y = 4x – 3 B. y = 4x – 5 C. y = 4x – 8 D. y = 4x – 13Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = 2y1 = 5x2 = 3y2 = 9Cara menjawab soal ini sebagai berikut→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 59 – 5 = x – 23 – 2 → y – 54 = x – 21 → y – 5 = 4 x – 2 → y – 5 = 4x – 8 → y = 4x – 8 + 5 = 4x – 3Soal ini jawabannya soal 5Persamaan garis lurus yang melalui titik 0, 3 dan 4, 0 adalah…A. y = -4/3 x + 3 B. y = – 3/4 x + 3 C. y = 3/4 x + 3 D. y = 4/3 x + 3Pembahasan / penyelesaian soalDiketahui x1 = 0y1 = 3x2 = 4y2 = 0Cara menjawab soal ini sebagai berikut.→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 33 – 0 = x – 00 – 4 → y – 33 = x-4 → -4 y – 3 = 3x → -4y + 12 = 3x → 4y = -3x + 12 → y = – 3/4 x + 3Soal ini jawabannya soal 6Persamaan garis gambar dibawah ini adalah…Contoh soal persamaan garis lurus nomor 6A. y = x – 3B. y = 3 – x C. y = x + 3 D. y = 3xPembahasan / penyelesaian soalGaris lurus pada gambar diatas melalui dua titik yaitu 3, 0 dan 0, 3. Jadi pada soal ini diketahuix1 = 3y1 = 0x2 = 0y2 = 3Cara menentukan persamaan garis gambar diatas sebagai berikut→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 03 – 0 = x – 30 – 3 → y3 = x – 3-3 → -3y = 3 x – 3 → -3y = 3x – 9 dibagi 3 → -y = x – 3 → y = -x + 3 atau 3 – xSoal ini jawabannya soal 7Persamaan garis lurus yang melalui titik 2, -6 dan sejajar garis y = 3x + 4 adalah…A. y = 3x – 6 B. y = 3x – 12 C. y = 3x + 6 D. y = 6x + 3Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = 2y1 = -6m = 3 diperoleh dari y = mx + c atau y = 3x + 4Jadi persamaan garis yang melalui titik 2, -6 sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – -6 = 3 x – 2y + 6 = 3x – 6y = 3x – 6 – 6 = 3x – 12Soal ini jawabannya soal 8Persamaan garis yang melalui 2, 8 dan sejajar garis 2y = 4x – 2 adalah…A. y = 1/2 x + 4 B. y = – 1/2 x – 1 C. y + 2x = 4D. y – 2x = 4Pembahasan / penyelesaian soal2y = 4x – 2 diubah menjadi y = 2x – 1. Jadi m = 2. Maka persamaan garis yang sejajar 2y = 4x – 2 sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 8 = 2 x – 2y – 8 = 2x – 4y – 2x = -4 + 8y – 2x = 4Soal ini jawabannya soal 9 UN 2016 SMPPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah…Contoh soal persamaan garis lurus nomor 9A. 2y = x – 1B. 2y = – x – 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = -x + 1Pembahasan / penyelesaian soalPada gambar diatas titik yang dilalui garis a adalah -1, 0 dan 0, 2 sehingga kita dapat gradien garis a sebagai berikut→ ma = y – yx – x → mb = 2 – 00 – -1 = 2Karena garis a dan b saling tegak lurus maka berlaku hubungan ma . mb = -1. Maka kita peroleh→ mb = -1ma → mb = – 12 Jadi persamaan garis b melalui titik -1, 0 sebagai berikuty – yb = mb x – xby – 0 = -1/2 x – -1y = -1/2x – 1/2 dikali 22y = -x – 1Soal ini jawabannya soal 10Persamaan garis lurus yang melalui titik 6, -3 dan tegak lurus garis 2x + 3y – 5 = 0 adalah…A. 3/2 x – 3 B. y = 3/2 x – 6 C. 3/2 x – 9 D. 3/2 x – 12Pembahasan / penyelesaian soalPersamaan garis diatas dapat diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini2x + 3y – 5 = 03y = -2x + 5y = -2/3x + 5/3Jadi kita ketahui m1 = -2/3. Karena tegak lurus maka berlaku m1 . m2 = -1 sehingga kita peroleh→ m2 = -1m1 → m2 = -1-2/3 = 3/2Jadi persamaan garis yang melalui titik 6, -3 sebagai berikuty – y2 = m x – x2y – -3 = 3/2 x – 6y + 3 = 3/2x – 9y = 3/2x – 9 – 3y = 3/2x – 12Soal ini jawabannya E.}

Bentukgrafik hubungan antara kecepatan dan waktu adalah seperti persamaan garis lurus. Grafik tersebut memiliki kemiringan (gradien) tertentu. Coba sobat amati grafik di atas. Grafik hubungan V dan t jika kecepatan awal(Vo) adalah nol ditunjukkan oleh grafik a dan jika kecepatannya adalah Vo maka grafiknya seperti tampak pada grafik b.

Grafikfungsi di bawah ini mempunyai persamaan. Gambar akhir yang kita tuju tampak seperti di samping ini. Grafik pada gambar contoh soal 4 ini melalui dua titik yaitu (0,4), (1,7), dan (2,13) sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x + c $. Definisi, bentuk grafik, contoh soal dan pembahasan. .

e2r1y4amlm.pages.dev/324

e2r1y4amlm.pages.dev/9

e2r1y4amlm.pages.dev/4

e2r1y4amlm.pages.dev/226

e2r1y4amlm.pages.dev/74

e2r1y4amlm.pages.dev/317

e2r1y4amlm.pages.dev/85

e2r1y4amlm.pages.dev/186

e2r1y4amlm.pages.dev/99

persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah